ЕКЗАМЕНАЦІЙНІ  ПИТАННЯ З МАТЕМАТИКИ

для студентів 2 курсу (5 р.н.) заочної форми навчання

(Другий екзамен)

1.  Відношення подільності на множині Z₀ та його властивості. Теореми про подільність суми і різниці.
2. Теореми про подільність суми (необхідна умова, достатня умова, необхідна і достатня умова. (Доведення за вибором студента).
3. Теореми про подільність різниці (необхідна умова, достатня умова, необхідна і достатня умова. (Доведення за вибором студента).
4.   Теореми про подільність добутку (Доведення теореми за вибором студента).
5.   Сформулювати і довести однаку подільності Паскаля.
6.   НСД і НСК чисел. Правила їх знаходження за канонічним розкладом чисел. Властивості НСД і НСК. (Доведення за вибором студента).
7.   Знаходження НСД чисел за алгоритмом Евкліда.
8.  Прості і складені числа. Побудова таблиці простих чисел.
9. Теорема про існування простого дільника у довільного натурального числа більшого за 1 (з доведенням).
10.  Теорема про визначення виду числа (просте чи складене) (з доведенням).
11.   Теорема про нескінченність множини простих чисел. (з доведенням).
12. Поняття числового виразу. Правила називання, читання та обчислення числових виразів.
13. Числова рівність. Правильна числова рівність. Властивості правильних числових рівностей (Доведення за вибором студента).
14.  Вирази із змінною. Область визначення виразу з однією змінною. Тотожньо рівні вирази. Тотожність. Основні тотожності шкільного курса математики.
15.  Поняття про рівняння  з однією змінною та множину його розв’язків.
16.  Дослідження множини розв’язків лінійного рівняння з однією змінною: ах+в=0.
17. Основні способи розв’язання рівнянь з однією змінною в 5-9 класах.
18.  Рівносильні рівняння. Сформулювати та довести теорему 1 про рівносильні рівняння. Навести приклади.
19.  Сформулювати та довести теорему 2 про рівносильні рівняння. Наслідки із теорем про рівносильні рівняння.
20.  Рівняння з двома змінними. Множина розв’язків його. Графік рівняння з двома змінними. Приклади рівнянь з двома змінними, що вивчаються в шкільному курсі математики.
21.  Система лінійних рівнянь з двома змінними. Дослідження множини розв’язків  системи рівнянь. Способи розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними.
22.  Числова нерівність. Правильні числові нерівності. Властивості правильних числових нерівностей.(Доведення за вибором студента).
23. Поняття про нерівність з однією змінною та множину її розв’язків. Дослідження множини розв’язків лінійної нерівності:

 ах + в  ≤ 0   (ах + в > 0)

1. Дослідження множини розв’язків квадратичної нерівності виду:

ах² + вх + с ≥ 0   (ах² + вх + с > 0).

1.  Поняття про рівносильні нерівності з однією змінною. Приклади рівносильних нерівностей.
2.  Перша теорема про рівносильні нерівності з однією змінною (з доведенням).
3.  Друга теорема про рівносильні нерівності з однією змінною (з доведенням).
4.  Наслідки із теорем про рівносильні нерівності із однією змінною. Розв’язування нерівностей виду: (х–а₁)(х–а₂) ∙ … ∙ (х–а_n)  0
5.  Поняття про систему і сукупність нерівностей з однією змінною та множину її розв’язків.
6.  Нерівність із змінною у початковому курсі математики. Основні способи розв’язування нерівностей, які доступні молодшим школярам.
   1. Поняття функції оберненої до заданої. Умови існування оберненої функції. Властивості графіків обернених функцій.
   2. Властивості і графік функції: у=ах² + вх + с.
   3.  Властивості і графік функції: у=kx.
   4.  Властивості і графік функції: у=.
   5. Поняття функції. Область визначення і множина значень функції. Способи задання функції. Графік функції.
   6. Властивості і графік функції: у= kx+b.
7. Характеристика загальної схеми дослідження властивостей функції та побудова її графіка.
8. Дробово-лінійна функція та її графік.
9.  Поняття про геометричну фігуру. Найпростіші геометричні фігури: точка, пряма, площина. Відрізок, промінь, ламана. Довжина ламаної та різні способи її обчислення.
10.  Кут. Види кутів. Бісектриса кута.
11.  Трикутник та його елементи. Види трикутників. Найважливіші властивості трикутника. Єгипетський трикутник.
12.  Означення та властивості таких чотирикутників як: паралелограм, трапеція.
13.  Означення та властивості таких чотирикутників як: прямокутник, ромб, квадрат.
14.  Трикутник вписаний в коло і описаний навколо нього.
15.   Чотирикутник вписаний в коло і описаний навколо нього.
16.   Коло. Круг. Круговий сектор і круговий сегмент.
17.  Призма. Означення, основні елементи та властивості призми. Побудова.
18.  Прямокутний паралелепіпед. Куб. Основні властивості. Побудова розгортки куба.
19.  Піраміда. Означення, елементи піраміди. Основні властивості піраміди.
20.  Циліндр. Конус. Основні елементи. Побудова зображення цих фігур.
21.  Куля Сфера. Основні елементи. Переріз цих фігур площиною. Побудова.
22.  Основні задачі на побудову на площині. Поділ відрізка на n рівних частин.
23. Основні задачі на побудову на площині: побудова трикутника за трьома заданими сторонами.
24.  Охарактеризувати загальну схему розв’язування задач на побудову: аналіз – побудова – доведення – дослідження. Геометричне місце точок як основний метод розв’язування задач на побудову.
25. Основні способи доведення геометричних тверджень. Універсальний метод доведення.
26. Правильні і неправильні міркування. Виявлення помилок в умовиводах за допомогою кругів Ейлера.
27. Структура теореми. Прості і складені теореми. Види теорем.
28. Основні способи доведення теорем. Аналітичний і синтетичний способи доведення теорем.
29. Основні способи доведення геометричних тверджень. Метод вичерпування або повної індукції.
30. Основні способи доведення теорем. Метод доведення від супротивного. Пропедевтика доведень в початковому курсі математики.
31. Характеристика десяткової позиційної системи числення. Запис і порівняння чисел в десятковій позиційній системі числення.
32.  Обґрунтування алгоритму додавання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
33. Обґрунтування алгоритму віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
34. Алгоритм множення багатоцифрового числа на двоцифрове в десятковій системі числення з обґрунтуванням.
35. Алгоритм ділення багатоцифрового числа на двоцифрове в десятковій системі числення з обґрунтуванням.
36. Недесяткові позиційні системи числення. Запис і порівняння чисел в недесяткових позиційних системах числення.
37. Перехід від запису числа в одній системі числення до запису його в іншій. Правила переходу. Приклади.
38.  Арифметичні дії в недесяткових позиційних системах числення.